Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] \cdot ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Étape 1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 [\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Étape 2

Multipliez $1$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Étape 3

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 3.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Étape 3.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Étape 3.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Étape 3.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Étape 3.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Étape 3.7

Multipliez $0$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Étape 3.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Étape 3.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Étape 4

Déplacez $1$ à gauche de $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}]$ .

$1 \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Étape 5

Multipliez $1$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Étape 6

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 6.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Étape 6.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Étape 6.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Étape 6.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Étape 6.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Étape 6.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 \cdot 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Étape 6.7

Multipliez $0$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Étape 6.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \cdot - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Étape 6.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] (1 [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}])$

Étape 7

Multipliez $1$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] [\begin{array}{c} 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 2 \\ 1 k \end{array}]$

Étape 8

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 8.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \cdot 2 \\ 1 k \end{array}]$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 k \end{array}]$

Étape 8.3

Multipliez $k$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}]$

Étape 9

Multipliez $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 2 & k \end{array}] [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ k \end{array}]$ .

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Étape 9.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 1$ and the second matrix is $1 \times 3$ .

Étape 9.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 \cdot 2 & 2 \cdot 2 & 2 k \\ 2 \cdot 2 & 2 \cdot 2 & 2 k \\ k \cdot 2 & k \cdot 2 & k \cdot k \end{array}]$

Étape 9.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 4 & 2 k \\ 4 & 4 & 2 k \\ 2 k & 2 k & k^{2} \end{array}]$

Étape 9.4

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 3$ .

Étape 9.5

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 + 0 (2 k) & 1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 + 0 (2 k) & 1 (2 k) + 1 (2 k) + 0 k^{2} \\ 1 \cdot 4 + 0 \cdot 4 + 2 (2 k) & 1 \cdot 4 + 0 \cdot 4 + 2 (2 k) & 1 (2 k) + 0 (2 k) + 2 k^{2} \\ 0 \cdot 4 + 2 \cdot 4 - (2 k) & 0 \cdot 4 + 2 \cdot 4 - (2 k) & 0 (2 k) + 2 (2 k) - k^{2} \end{array}]$

Étape 9.6

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} 8 & 8 & 4 k \\ 4 + 4 k & 4 + 4 k & 2 k + 2 k^{2} \\ 8 - 2 k & 8 - 2 k & 4 k - k^{2} \end{array}]$